OLHA A MÁGICA

Se você somar 1 ao produto de quatro números consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito.

Veja:

1 . 2 . 3 . 4 = 24 + 1 = 25

2 . 3 . 4 . 5 = 120 + 1 = 121

97 . 98 . 99 . 100 = 94 109 400 + 1 = 94 109 401 = 9701²

Então, para se provar isso, vamos representar os números inteiros por:

n, n+1, n+2 e n+3.

Ficando os produtos assim:

n(n+1)(n+2)(n+3) = n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n

Somando 1 fica:

n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n + 1

Se pegarmos um dos exemplos numéricos:

4 . 5 . 6 . 7 + 1 = 841 = 29²

Podemos notar que é o mesmo que é o quadrado da soma de 1 e o produto do primeiro pelo último termo da sequência.

(1 + 4 . 7)².

Outro exemplo:

31 . 32 . 33 . 34 + 1 = 1 113 025 = 1025² =( 1 + 31 . 34)².

Expressando em polinômios, podemos escrever:

n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n + 1 =[ 1 + n(n + 3) ]².

Isso, além de confirmar que

n (n + 1) (n + 2) (n +3) + 1

é um quadrado perfeito, também nos diz de qual número é o quadrado perfeito:

[1 + n(n + 3)].

Fonte:  Livro Matemática – Uma Nova Abordagem – Vol. 3 – 2001 -  pag 185

José Ruy Giovanni e José Roberto Bonjorno